Der Goldene Schnitt - Theorie
Die Geschichte des Goldenen Schnitts
Euklid war der erste, der um ca. 300 v. Chr. den Goldenen Schnitt erstmals in seinen Schriften erwähnte. Er war bei der Untersuchung der 5 platonischen Körper auf eine spezielle Teilung gestossen, welche immer wieder auftauchte. Euklid nannte diese Teilung damals noch nicht Goldener Schnitt, sondern er nannte sie: „proportio habens medium et duo extrema“. Übersetzt bedeutet das in etwa: „Teilung im äusseren und mittleren Verhältnis“.
Im 14. Jahrhundert befasste sich dann ein Franziskanermönch mit diesen Schriften und nannte diese Teilung dann „ Göttliche Teilung“ da die 5 platonischen Körper als Symbole für die Schöpfung galten.
Der Begriff „Goldener Schnitt“ tauchte erst 1835 zum ersten Mal in der Literatur auf, als der deutsche Mathematiker Martin Ohm ihn in seinem Lehrbuch für Mathematik verwendete.
Die Zahl Phi
Die Zahl Phi (1.618…) ist wohl die wichtigste Zahl des ganzen Goldenen Schnittes. Stehen zwei Strecken im Verhältnis von Phi zueinander, dann sind sie im Goldenen Schnitt.
Je näher zum Beispiel das Verhältnis zweier bestimmter Strecken eines menschlichen Körpers an 1.618… kommt, desto mehr ist dieser Mensch im Goldenen Schnitt, und das wiederum heisst, das dieser Mensch wohl proportioniert ist. Was wiederum als Schönheitsideal gilt.
Wie oben erwähnt ist die Zahl Phi in den Fibonaccizahlen enthalten. Nimmt man zwei aufeinander folgende Zahlen, und teilt man die höhere durch die tiefere, dann bekommt man immer ein Verhältnis um 1.618 herum. Je höher diese Zahlen werden, desto näher kommen wir an Phi.
Hier einige Beispiele:
| 1 geteilt durch 1 = 1 | 2 geteilt durch 1 = 2 |
| 3 geteilt durch 2 = 1,5 | 5 geteilt durch 3 = 1,66 |
| 8 geteilt durch 5 = 1,60 | 13 geteilt durch 8 = 1,625 |
| 21 geteilt durch 13 = 1,615 | 34 geteilt durch 21 = 1,619 |
| 55 geteilt durch 34 = 1,617 | 89 geteilt durch 55 = 1,6181 |
Veranschaulicht man dieses Phänomen graphisch, so stellt man fest, dass der Betrag der Abweichung des Quotienten bei logarithmischer Darstellung linear zur Zahl Phi ist (Fig.2).
Fig.2 Abweichung des Quotienten zu Phi
Was ist denn eigentlich der Goldene Schnitt?
Der Goldene Schnitt ist ein Teilverhältnis. Eine Strecke AB wird im Punkt P geteilt (Fig.3). Die beiden Teilstrecken M und m befinden sich im Goldenen Schnitt, wenn die Gesamtstrecke AB im gleichen Verhältnis zur längeren Teilstrecke M stehet, wie die längere Teilstrecke M zur kürzeren m. In einer Formel sieht das folgendermassen aus: AB/AP = AP/BP
Zwei Strecken, die im Goldenen Schnitt stehen, haben immer ein Teilungsverhältnis von 1.618… wenn man AP/BPteilt. Diese Zahl wird Phi genannt. Logischerweise haben auch die Strecken AB/AP das gleiche Verhältnis.
Fig.3 Streckenteilung im Goldenen Schnitt
Die grössere der beiden Teilstrecken wird mit M für Major bezeichnet, was auf lateinisch grösser heisst, und die kleinere Teilstrecke wird mit m für Minor bezeichnet, was kleiner heisst.
Herleitung von Phi:
Fig.4 Formel zur Herleitung von Phi
Diese Gleichung hat für M:m die folgende Lösung:
Fig.5 Formel für Phi
Das heisst, dass P die Strecke AB nur dann im Goldenen Schnitt teilt, wenn das Teilungsverhältnis einen ganz bestimmten Wert hat, nämlich Phi. Wenn man diese Formel ausrechnet, kommt man auf ca. 1.618… Dies ist eine irrationale Zahl.
