Fibonacci

Intervalle und Töne

Theorie

Musik und Töne westlicher Prägung entstehen durch Intervalle, denen man auch Akkorde sagt. Ein Intervall ist das Verhältnis der Frequenzen zweier Töne, des Grundtons und des zweiten Tons, die kurz nacheinander oder gleichzeitig abgespielt werden. Wenn man das Frequenzverhältnis kürzt, erhält man ein Zahlenverhältnis. Das Elementarste ist die Prim, ein Intervall, das aus zwei gleichen Tönen besteht. Das zweite ist die Oktave, die ein Frequenzverhältnis von 2:1 aufweist. Diese wird vom Menschen als das konsonanteste (passendste, harmonischste) Intervall wahrgenommen (neben der Prim). Das geht sogar so weit, dass der Mensch die Töne einer Oktave als gleich wahrnimmt. Daraus lässt sich ableiten, dass ein Intervall, das mit zwei multipliziert oder durch zwei dividiert wird, sich nicht ändert. Das wiederum bedeutet, dass alle möglichen Intervalle grösser als eins und kleiner als 2 sind.

Alle Töne bestehen nicht nur aus einer Grundfrequenz, sondern auch aus den Obertönen, die diese überlagern. Die Obertöne sind immer ein Mehrfaches der Grundfrequenz. Wenn also ein Pianist einen Ton mit 440Hz spielt (Kammerton A), erklingen gleichzeitig etwas schwächer auch Töne mit 880, 1320, 1720Hz usw. Die Zusammensetzung der Obertöne ist von Instrument zu Instrument verschieden und charakterisiert dieses. Die Oktave ist also der erste Oberton eines Grundtons.

Die phytagoräische Stimmung

Betrachten wir als Beispiel die Obertonreihe des Tones D: nach der Oktave folgt der Oberton A (3-fache Frequenz). Bringt man diesen durch Halbieren der Frequenz wieder in die Grundoktave, entsteht das Intervall D-A mit dem Zahlenverhältnis 3:2. Dies bezeichnen wir als Quint. Pythagoras und seine Schule hatten die Idee, mit Hilfe der Quint weitere Töne zu bestimmen. Wenn man dem A eine weitere Quint anhängt gelangt man zum E. Das heisst, vom Grundton D aus gesehen, ein Zahlenverhältnis von 3:2 mal 3:2, also 9:4. Spielt man das E eine Oktave tiefer, ergibt das ein Verhältnis von 9:8 (D-E). Dies wird als Sekund bezeichnet. Die vom E ausgehende Quint hat das Frequenzverhältnis 3:2 mal 9:8, was 27:16 ergibt. Dies führt zum H und das Intervall D-H wird als Sext bezeichnet. Weiter ging Pythagoras vom D eine Quint abwärts (Verhältnis 2:3) und oktavierte das erhaltene G. Dadurch gelangt man zum Intervall D-G, das dem Verhältnis 4:3 entspricht. Das C liegt wiederum eine Quint tiefer als G, was auf den Grundton D bezogen einem Verhältnis von 2:3 mal 4:3 entspricht, was 8:9 ergibt. Nun oktaviert man abschliessend das C, und erhält das Verhältnis 16:9. Das F liegt wiederum eine Quint unter C, und es ergibt sich folglich das Verhältnis 32:27.

Auf diese Weise erhielt Pythagoras eine Liste von 7 Tönen (diatonische Tonleiter), die uns heute als weisse Tasten auf der Klaviertastatur bekannt sind (Tab.1).

Ton	D	E	F	G	A	H	C
Intervall	1	9:8	32:27	4:3	3:2	27:16	16:9

Tab.1. Die Intervalle der diatonischen Tonleiter.

Diese Intervalle können nun alle mit Fibonacci-Zahlen dargestellt werden (Tab.2).

Ton	D	E	F	G	A	H	C
Intervall	1	9:8	32:27	4:3	3:2	27:16	16:9
Darstellung mit Fibonacci-Zahlen	1	(3*3):8	(8*3):33	(2*2):3	3:2	33*:(8*2)	(8*2):(3*3)

Tab.2. Die Intervalle der diatonischen Tonleiter dargestellt mit Fibonacci-Zahlen.

In dieser Skala ist das Intervall H-C sowie E-F das kleinste. E-F kann man folgendermassen berechnen: 8:9 (Frequenz von D) mal 32:27 = 256/243. Das Intervall H-C hat das gleiche Verhältnis. Dieses Intervall ist ein Halbtonschritt. Die Intervalle D-E, F-G, G-A sowie A-H hingegen haben alle das Verhältnis 8:9 (ein Ganztonschritt). Wir haben entdeckt, dass sich beide Intervalle durch Fibonaccizahlen darstellen lassen:

256:243 = 2⁸:3⁵

8:9 = 8:(3*3)

Bei den Ganztonintervallen lässt sich natürlich auch ein Halbtonschritt hinzufügen. Dadurch entstehen die folgenden Töne der chromatischen Tonleiter (Tab.3).

Ton	as	es	b	fis	cis	gis
Intervall	1024:729	256:243	128:81	81:64	243:128	729:512
Darstellung mit Fibonacci-Zahlen	(22)5:3*35	28:35	2*82:(32)2	(32)2:82	35:2*82	3*35:28

Tab.3 Chromatische Tonleiter

Wie man sehen kann, lassen sich auch die Halbtöne durch Fibonacci-Zahlen darstellen.

Allgemeiner erklärt, erhält man die 12 Töne der chromatischen Tonleiter dadurch, dass man 12 reine Quinten (Verhältnis 2:3) aufeinander setzt. Das heisst, die 12 Töne lassen sich in einem Kreis anordnen (Fig.36).

Fig.36 Ein Quintenkreis mit dem Grundton C

Dabei sollte der End- und der Anfangston des Kreises eigentlich der gleiche sein (in Fig.34 His und C). Rechnet man jedoch das Intervall As-Gis (oder His-C) aus: (729:1024)*(729:512), so erhält man ein Verhältnis von 1,0136.

Nach der Methode des Pythagoras ergibt sich also eine Ungenauigkeit von 1,36% (das pythagoräische Komma). Pianisten ignorieren diesen Unterschied einfach, da er kaum hörbar ist, Geigenspieler jedoch setzen das His nicht mit dem C gleich (oder z.B. das Gis mit dem As).

Auch dieses Verhältnis lässt sich natürlich durch Fibonacci-Zahlen darstellen, da es nur aus Zahlen gebildet wurde, die durch Fibonacci-Zahlen darstellbar sind.

Die reine Stimmung

Später wurde die reine oder harmonische Stimmung eingeführt. Dabei wird das Intervall D-Fis (die grosse Terz) nicht mehr als 81:64, sondern als 5:4 definiert (was fast dasselbe ergibt). Die Töne entstehen nun entweder aus Quinten oder aus grossen Terzen. Dadurch bildet sich ein zweidimensionales Netz von Tönen. Die Töne der reinen Stimmung unterscheiden sich aber nicht sehr stark von denjenigen der pythagoräischen Stimmung. Auch in der reinen Stimmung lassen sich alle Intervalle durch Fibonacci-Zahlen darstellen, da die Grundintervalle (5:4 und 3:2) ja auch aus Fibonacci-Zahlen bestehen.

Die wohltemperierte Stimmung

Da sich aber auch in der reinen Stimmung Ungenauigkeiten ähnlich dem pythagoräischen Komma ergeben, erfand man die wohltemperierte Stimmung, welche auch heute noch verwendet wird. Diese definiert die kleine Sekunde (den Halbtonschritt) als 12√2. Dies ist eine unendliche Dezimalzahl mit der Eigenschaft, dass sie, 12 Mal mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt. Wenn man also 12 solche Halbtonschritte aufeinander türmt, erhält man genau eine Oktave und alle Probleme mit Ungenauigkeiten wie dem pythagoräischen Komma sind gelöst. Man kann nun Beispielsweise das C wirklich mit dem His gleichsetzen. Dafür sind nun die restlichen Intervalle etwas ungenau geworden. Die Differenz ist jedoch so marginal, dass sie vom ungeübten Ohr kaum wahrgenommen werden.

Diese Stimmung hat rechnerisch nichts mehr mit der Fibonacci-Reihe zu tun. Da die Differenzen jedoch so klein sind, kann man auch hier sagen, dass die Töne beinahe durch Verhältnisse von Fibonacci-Zahlen gebildet werden.

Kritische Betrachtung

Es drängt sich nun die Schlussfolgerung auf, dass die Schönheit der Musik wesentlich daher kommt, dass ihre Bestandteile, die Töne, durch Fibonacci-Zahlen gebildet werden. Allerdings muss man bei genauerer Betrachtung eingestehen, dass die Grundlage der besprochenen Zahlenverhältnisse die Zahlen 2 und 3 bei der pythagoräischen bzw. 2, 3 und 5 bei der reinen Stimmung sind. Diese Zahlen sind so klein, dass man sie noch nicht eindeutig der Fibonacci-Reihe zuordnen kann, denn sie könnten genauso auch als Primzahlen bezeichnet werden. Das heisst, es ist reine Interpretationssache, ob die oben genannte Schlussfolgerung als wahr angeschaut wird oder nicht.